सुपरिवर्तनीय और कण यांत्रिकी

प्रो सुमेश पी थम्पी

केमिकल इंजीनियरिंग विभाग

भारतीय प्रौद्योगिकी संस्थान, मद्रास

व्याख्यान - 70

ट्यूटोरियल - 09

तो, तरल पदार्थ यांत्रिकी और अपने आप को चैतन्य के ट्यूटोरियल अनुभाग में आपका स्वागत है।

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इसलिए, आज हम जिस समस्या का समाधान करने जा रहे हैं वह यह है कि कमरे के तापमान पर यह पानी एक ही वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर पर बहता है, घन दो नलिकाओं के माध्यम से 10 पावर माइनस 4 मीटर क्यूब प्रति सेकंड में ९.४ के बराबर है । एक गोल पाइप है, दूसरा वलयाकार पाइप है जिसे आप आकृति में देख सकते हैं और सभी दीवारें वाणिज्यिक गति से बनी हैं और दोनों तरह की एक ही लंबाई और आयाम दिए गए हैं । इसलिए, हमारा उद्देश्य दो पाइपों में सिर के नुकसान की गणना करना और दो पाइपों की दक्षता पर टिप्पणी करना है। तो, आइए देखें कि इसे कैसे हल किया जाए।

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तो, ज्यामिति एक एक दौर एक दूसरे वलयाकार पाइप है। इसलिए, यदि आप आयामों को देखें तो आर 15 मिमी है 25 मिमी है। इस तरह आर 15 एमएम है, ए 25 है। इसलिए, पहला कदम अज्ञात की गणना करना है जो बी है। इसलिए जो जानकारी दी जाती है वह दो नलिकाओं का क्रॉस सेक्शनल एरिया बराबर है। इसलिए गोल पाइप का क्रॉस सेक्शनल एरिया वलयाकार टाइप के क्रॉस सेक्शनल एरिया के बराबर होता है।

तो, यह हमें पीआई आर स्क्वायर देता है एक वर्ग शून्य से बी वर्ग में पीआई के बराबर है। इसलिए, हम जानते हैं कि आर हम एक जानते हैं, जो 25 मिमी है और यह 15 मिमी है और इसलिए, हम बी की गणना कर सकते हैं जो 20 मिमी होने जा रहा है । इसलिए, हम समस्या के सभी आयामों को जानते हैं, अब हमें परिपत्र पाइप और वलयाकार पाइप में सिर के नुकसान की गणना करने की आवश्यकता है।

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इसलिए, आइए पहले परिपत्र पाइप में सिर के नुकसान की गणना करें। इसलिए, ऐसा करने के लिए पहले हमें रेनॉल्ड्स संख्या की गणना करने की आवश्यकता है और इसके लिए हमें वेग की आवश्यकता है। समस्या में प्रवाह दर 9.4 के रूप में 10 बिजली माइनस 4 मीटर घन प्रति सेकंड के रूप में दिया जाता है। और, हम क्रॉस सेक्शनल क्षेत्र को जानते हैं जो पीआई आर स्क्वायर है, हम क्यू के रूप में ए द्वारा वी की गणना कर सकते हैं जो हमें 1.33 मीटर प्रति सेकंड देता है।

इसलिए, इस जानकारी के साथ हम रेनॉल्ड्स संख्या की गणना कर सकते हैं जो एमयू द्वारा बी rho है। अत यह 39700 होने जा रहा है और इसलिए इस समस्या में प्रवाह अशांत है। इसलिए, घर्षण कारक की गणना करने के लिए मूडी चार्ट का उपयोग करने और सिर के नुकसान की गणना करने के लिए इसका उपयोग करने की आवश्यकता है।

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इसलिए, वाणिज्यिक इस्पात के लिए जैसा कि उन्होंने उल्लेख किया है कि पाइप वाणिज्यिक इस्पात से बना है और मूल्य द्वारा एप्सिलॉन 0.00153 है। इसलिए, कोई भी मूल्य और रेनॉल्ड्स संख्या द्वारा इस एप्सिलॉन का उपयोग कर सकता है, इन दोनों का उपयोग करके मूडी चार्ट से घर्षण गुणांक की गणना कर सकते हैं जो 0.0261 है। और, इस से एक एल द्वारा एच एफ का उपयोग कर सिर नुकसान की गणना कर सकते हैं कुछ भी नहीं है, लेकिन 2 ग्राम द्वारा वी स्क्वायर में डी द्वारा एफ।

इसलिए, हमारे पास एफ डी की जानकारी है और हम वेग जानते हैं और हम गुरुत्वाकर्षण को 9.81 मीटर प्रति सेकंड जानते हैं। तो, यह सब प्रतिस्थापन हम एल द्वारा एच एफ के रूप में ०.०७८५ प्राप्त कर सकते हैं । इसलिए, परिपत्र पाइप के लिए सिर का नुकसान 0.0785 है।

छात्र: (देखें समय: 05:02) ।

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हाँ ऐसा है। तो, यह मीटर प्रति सेकंड वर्ग खेद है। इसलिए, हमने एक परिपत्र पाइप में सिर के नुकसान की गणना की है, हम वलयाकार पाइप के लिए गणना दोहराएंगे, लेकिन वलयाकार पाइप के मामले में हमें हाइड्रोलिक व्यास का उपयोग करने की आवश्यकता है।

तो, वलयाकार पाइप के लिए गणना; इसलिए, एक वलयाकार पाइप के मामले में हमें हाइड्रोलिक व्यास का उपयोग करने की आवश्यकता है जिसे वेक्टर पैरामीटर द्वारा क्षेत्र के 4 गुना के रूप में परिभाषित किया गया है। इसलिए, इस ज्यामिति के लिए जो वलयाकार पाइप है, यह एक है और हमें यही करना है। क्षेत्र 5 बार एक वर्ग माइनस बी वर्ग है और यह पीआई टाइम्स ए प्लस बी 2 पीआई आर और वलयाकार के लिए 2 पीआई आर ए प्लस बी होने जा रहा है।

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तो, यह हमें एक शून्य से बी में 2 देता है । इसलिए, यह हाइड्रोलिक व्यास है और इसलिए, हम इस हाइड्रोलिक व्यास के आधार पर रेनॉल्ड्स संख्या की गणना करते हैं जो एनयू द्वारा वेग डी एच है। तो, जैसा कि हमारे पास है; जैसा कि प्रश्न में दिया गया है, परिपत्र और वलयाकार पाइप दोनों के क्रॉस सेक्शनल क्षेत्र समान हैं; इसलिए दोनों पाइपों में वेग द्रव वेग एक ही होगा क्योंकि वॉल्यूमेट्रिक उत्पाद समान रहता है। और, हमारे पास हम हाइड्रोलिक व्यास की गणना कर सकते हैं और हम गतिज चिपचिपाहट जानते हैं; यह सब प्रतिस्थापन हम २६५०० के रूप में Reynolds संख्या मिल जाएगा ।

इसलिए, यहां तक कि वलयाकार पाइप में प्रवाह अशांत है और यहां यह डी एच मूल्य द्वारा 0.023 एप्सिलॉन होने जा रहा है जिससे हम एफ मूडी की गणना कर सकते हैं जो 0.0291 है। इसलिए, अब हमारे पास वह कारक है जिससे हम सिर के नुकसान की गणना उसी तरह कर पाएंगे जैसे हम एक परिपत्र पाइप के लिए करते हैं । इसलिए, अब तक यह एक अनुमानित मूल्य होने जा रहा है क्योंकि हम हाइड्रोलिक व्यास अवधारणा का उपयोग कर रहे हैं। इस तरह यह 0131 के आसपास होगा।

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इसलिए, यदि मैं एक परिपत्र पाइप के लिए सिर के नुकसान के मूल्यों की तुलना में देखता हूं तो यह लगभग 0.0785 है और जबकि, रद्द करने के लिए यह लगभग 0.131 होने जा रहा है। इसलिए, यह स्पष्ट है कि वलयाकार पाइप के मामले में सिर का नुकसान अधिक होता है और यह समझ में आता है क्योंकि वलयाकार पाइप के मामले में, तरल पदार्थ अधिक दीवार क्षेत्र के संपर्क में होता है। क्योंकि, तरल पदार्थ भीतरी दीवार के साथ-साथ बाहरी दीवार के संपर्क में है इसलिए, उच्च घर्षण होगा। इसलिए, हम कह सकते हैं कि परिपत्र पाइप की दक्षता वलयाकार पाइप की दक्षता से अधिक है। इसलिए, यह प्रश्न एक है।

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प्रश्न b. तो, प्रश्न बी में इसे संभालने के लिए कहा गया था; प्रश्न बी में यह एक वलयाकार वाहिनी में मान लेने के लिए कहा गया था, एक वलयाकार वाहिनी में प्रवाह लैमिनार है और एक और बी के मूल्य का सुझाव है कि एक परिपत्र पाइप के रूप में एक सिर नुकसान ही देता है । तो, यहां हम क्या करते है कि हम सिर हानि 2 जी के लिए एक अभिव्यक्ति है और हमें पूछा गया था कि प्रवाह मान लें कि एक वलयाकार वाहिनी में प्रवाह टुकड़ेिनर है । इसलिए, हम सीधे एफ की गणना कर सकते हैं क्योंकि हमारे पास लैमिनार प्रवाह के मामले में एफ और रेनॉल्ड्स नंबर के बीच एक संबंध है।

और, हमें ए और बी के मूल्यों का सुझाव देने की आवश्यकता है जो आंतरिक पाइप और बाहरी पाइप का त्रिज्या है जो सिर को नुकसान देता है जो एक परिपत्र पाइप के समान है। इसलिए, परिपत्र पाइप के लिए हमने 0.0785 के रूप में सिर का नुकसान प्राप्त किया है। और, लैमिनार फ्लो एफ के मामले में रेनॉल्ड्स संख्या द्वारा 64 है जिसे हाइड्रोलिक व्यास के आधार पर परिभाषित किया गया है और हमारे पास यहां एक और डी एच है और हमारे पास वी स्क्वायर 2 ग्राम है।

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इसलिए, यदि मैं 2 ग्राम तक डी एच से वी स्क्वायर में काइनेमेटिक्स चिपचिपाहट द्वारा सब कुछ 64 डी एच वेग स्थानापन्न करता हूं। तो, इस वी और इस वी बंद रद्द हो गया और हम एक समीकरण के साथ खत्म हो गया । इसलिए, यदि मैं वी को क्यू के रूप में एक स्थानापन्न करता हूं क्योंकि मैं वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर जानता हूं, लेकिन वेग नहीं और मुझे पता है कि क्षेत्र अज्ञात है क्योंकि हम नहीं जानते कि इस समस्या में कॉमा बी क्या है। इसलिए, मैं एक समीकरण 64 क्यू के साथ 2 जी से 2 जी तक नू को 1 में एक वर्ग शून्य से 1 में एक शून्य से ऋण बी पूरे वर्ग 0.0785 में समाप्त हो जाएगा।

इसलिए, इस समस्या में वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर दी जाती है, हम काइनेमैटिक चिपचिपाहट को जानते हैं और हम गुरुत्वाकर्षण को स्थिर और ए और बी को छोड़कर सब कुछ जानते हैं । इसलिए, मैं unknowns को एक तरफ ले जाऊंगा और मैं समाप्त हो जाऊंगा, यदि मैं इसी मूल्यों को प्रतिस्थापित करूंगा तो मुझे पावर माइनस 9 में 10 तक मिल जाएगा । तो, यह समीकरण है कि एक और बी के मूल्यों को नियंत्रित करता है ।

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और, यदि हम यह मान लेते हैं कि यदि आप 25 के बराबर का मूल्य लेते हैं जो योजनाबद्ध में दिया जाता है, तो हमें मिलने वाले बी का मूल्य लगभग 21 मिमी है । तो, एक प्राप्त कर सकते है अगर आप एक परिपत्र पाइप के रूप में एक वलयाकार पाइप की दक्षता ही है तो क्या एक हम एक बहुत पतली वलयाकार अंगूठी की जरूरत है चाहता हूं । तो, आप बस देख सकते हैं कि मुझे 21 मिमी मिलता है और यह 25 मिमी है। इसलिए, यह वलयाकार पैरामीटर होना चाहिए जिसका उपयोग सिर के नुकसान को गोलाकार पाइप के समान करने के लिए करना चाहिए। इसलिए, यह इस प्रश्न के बारे में है।

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अब, हमें दूसरे प्रश्न पर आगे बढ़ना चाहिए । इसलिए, इस प्रश्न में हम दबाव ढाल और मतलब वेग की गणना करने के लिए विस्थापन मोटाई की अवधारणा का उपयोग करते हैं। तो, सवाल 20 डिग्री सेंटीग्रेड पर इस हवा की तरह चला जाता है और 1 वातावरण एक ४० सेमी वर्ग वाहिनी में प्रवेश के रूप में आंकड़ा में दिखाया गया है । और, विस्थापन मोटाई अवधारणा का उपयोग करके हमें मतलब वेग का अनुमान लगाने के लिए कहा जाता है, स्थिति एक्स पर प्रवाह के मूल में औसत दबाव 3 मीटर के बराबर है और इस खंड में पास्कल प्रति मीटर में औसत ढाल क्या है।

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इसलिए, हमें इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करना चाहिए। इसलिए यह प्रश्न संख्या 2 है। इसलिए, जैसा कि उन्होंने 20 डिग्री सेंटीग्रेड तापमान पर हवा दी है, मापदंडों को संबंधित तालिकाओं से प्राप्त किया जा सकता है जहां घनत्व 1.2 किलोग्राम प्रति मीटर घन होने जा रहा है और चिपचिपाहट 1.8 से 10 पावर माइनस 5 किलोग्राम प्रति मीटर प्रति मीटर सेकंड है। इसलिए, हम वायु गुणों को जानते हैं, अब हमें बाहर निकलने पर वेग की गणना करने के लिए कहा गया था। इसलिए, यदि आप प्रश्न को देखें तो हमें मतलब वेग की गणना करने के लिए कहा जाता है जिसका अर्थ है बाहर निकलने पर वेग ।

गणना करने के लिए कि हम निरंतरता समीकरण हम उस को मिल जाएगा थोपने की जरूरत है, लेकिन पहले हमें Reynolds संख्या है जो एमयू द्वारा rho यू एक्स के रूप में इस समस्या के लिए परिभाषित किया गया है की गणना और हम एक प्रवेश वेग है और हम घनत्व जो है पता है । इसलिए घनत्व 1.2 है, वेग 2 मीटर प्रति सेकंड दिया जाता है जो दिया जाता है और दूरी 3 और चिपचिपाहट 1.8 से 10 पावर माइनस 5 है। यह सब प्रतिस्थापन हम 10 शक्ति 5 में 4 के रूप में Reynolds संख्या मिल जाएगा जिसका अर्थ है प्रवाह laminar है, क्योंकि यह एक थाली समस्या है ।

अब, विस्थापन मोटाई अवधारणा का उपयोग कर के रूप में हम Reynolds संख्या पता है और हम दूरी है जो एक्स 3 मीटर के बराबर है पता है, हम विस्थापन मोटाई जो डेल्टा स्टार है की गणना करने में सक्षम हो जाएगा । इसलिए, डेल्टा स्टार की गणना करने के लिए दो सूत्र हैं; एक सटीक गणना पर आधारित है जो आर ई एक्स पावर 1 द्वारा 2.721 x है। इसलिए, यह सटीक गणना पर आधारित है और यदि हम मानते हैं कि सीमा परत में प्रोफ़ाइल पैराबोलिक है तो हमें जो मिलता है वह बहुत करीब है जो आर ई एक्स पावर 1 द्वारा 2 द्वारा 1.83 x है। इसलिए, इन दोनों के बीच सापेक्ष त्रुटि 6 प्रतिशत प्रति 6 प्रतिशत होगी ।

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इसलिए, अब हम सटीक समीकरण का उपयोग करेंगे शायद आप उस समीकरण का उपयोग करने की कोशिश कर सकते हैं जिसे हमने प्रवाह को पैराबोलिक मानते हुए प्राप्त किया है। तो, हम एक्स जानते हैं जो 3 मीटर है और हम रेनॉल्ड्स संख्या को जानते हैं, जो हमें डेल्टा स्टार को 0.0082 मीटर के रूप में देता है, यह एक गोल दशमलव है। इसलिए अब हमें निरंतरता समीकरण थोपने की जरूरत है, आइए फिर से ज्यामिति पर नजर डालें । हम एक तरल पदार्थ में प्रवेश तो है, इससे पहले कि हम क्या विस्थापन मोटाई है और कैसे हम इसका इस्तेमाल करने के लिए यह समझ कैसे निरंतरता समीकरण थोपने के लिए देखते हैं ।

इसलिए, मान लीजिए कि आपके पास एक सपाट प्लेट है और तरल पदार्थ प्रवेश कर रहा है और हम जानते हैं कि सीमा परत का विकास होगा और विस्थापन मोटाई उस राशि की मात्रा निर्धारित करने का उपाय है जिसके द्वारा सबसे बाहरी सुव्यवस्थित विस्थापित हो जाता है । तो, यह वही डेल्टा है। इसलिए, यदि हां, तो सीमा परत के ठीक बाहर जो सुव्यवस्थित है, वह सीमा परत प्रभावित होने के कारण विस्थापित हो रहा है । इसलिए विस्थापन की मात्रा विस्थापन से होती है। इसलिए, यदि आप निरंतरता समीकरण लागू करना चाहते हैं, तो यदि कोई निरंतरता समीकरण थोपना चाहता है। तो, यह तरल पदार्थ है जो प्रवेश कर रहा है या बड़े पैमाने पर प्रवाह rho यू में एक ।

अब यहां का क्षेत्र बदल गया है। तो, यहां क्षेत्र इस ऊंचाई पर आधारित है, जबकि, यहां क्षेत्र पर आधारित है चलो कहते है कि यह एच तो है, यह डेल्टा स्टार है । इसलिए, हमें यह कहने की जरूरत है कि रो यू एच रो यू प्लस डेल्टा स्टार के बराबर है। इसलिए, अगर हम मानते हैं कि यह एक वर्ग वाहिनी है तो यह एच प्लस डेल्टा स्क्वायर में एच स्क्वायर की तरह है। इसलिए, फ्लैट प्लेट के लिए यह स्थिति है।

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अब, यदि हम दी गई ज्यामिति के लिए उसी अवधारणा का उपयोग करते हैं जो एक चैनल है, तो हम इसके साथ क्या समाप्त करेंगे और उन्होंने चैनल के आयाम दिए हैं; यह एक 2D चैनल है और उन्होंने दिया है कि यह लगभग 40 सेंटीमीटर है। तो, यहां हम क्या मिलता है एल नॉट स्क्वायर में वी वी बाहर निकलें जो एल नॉट माइनस 2 डेल्टा स्टार पूरे वर्ग में एक अज्ञात है के बराबर है ।

तो, आप ऐसा देख सकते हैं, यह इनलेट वेग है, हम इनलेट वेग जानते हैं, हम चैनल के आयामों को जानते हैं इसलिए, हम इनलेट मास फ्लक्स की गणना कर सकते हैं जो कि यू यू में है। और, इसी तरह हम विस्थापन मोटाई को जानते हैं और इसका उपयोग करते हुए कि हम बाहर द्रव्यमान लिख सकते हैं; यह बड़े पैमाने पर प्रवाह है और यह बड़े पैमाने पर प्रवाह में है। इसलिए, हम जानते हैं कि प्रवेश का वेग जो 2 मीटर प्रति सेकंड है, एल नॉट समस्या में दिया जाता है जो 40 सेंटीमीटर है। तो, वी निकास एक अज्ञात, एल नॉट है और हम डेल्टा स्टार की गणना की है ।

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इसलिए, इससे हम वी एग्जिट को 2.175 मीटर प्रति सेकंड के रूप में गणना कर सकते हैं। इसलिए, हमने एक ऐसे भाग की गणना की है जो कि औसत वेग है और फिर हमें 3 मीटर के बराबर स्थिति एक्स पर निम्नलिखित के मूल में औसत दबाव की गणना करने के लिए कहा गया था । इसलिए, दबाव की गणना करने के लिए क्योंकि हमारे पास वेग डेटा है और हमारे पास इनलेट दबाव है इसलिए, हम बर्नौली समीकरण लागू कर सकते हैं । तो, जो 2 rho V निकास वर्ग द्वारा पी एग्जिट प्लस रो वी स्क्वायर है पी इनलेट के बराबर है या मैं 2 वी 0 वर्ग द्वारा पी 0 प्लस रो के रूप में परिभाषित करूंगा। इसलिए, जैसा कि इनलेट दबाव वायुमंडलीय दबाव है, हमें गैस दबाव के साथ काम करना चाहिए जिसका अर्थ है कि हम दिए गए दबावों से वायुमंडलीय दबाव को घटा रहे हैं ।

इसलिए, जैसा कि आंतरिक दबाव पहले से ही 1 वातावरण है, यह 0 तक जाता है क्योंकि हम गैस के दबाव को देख रहे हैं। तो, हम क्या प्राप्त कर सकते हैं पी निकास जो 2 गुना वी इनलेट स्क्वायर माइनस वी एग्जिट स्क्वायर द्वारा rho है। इसलिए, यह लगभग 0.44 पास्कल होगा और आपको याद रखना चाहिए कि यह वी निकास एक्स से मेल खाता है 3 मीटर के बराबर है। इसलिए, यह पी निकास 3 मीटर के बराबर एक्स से मेल खाता है। इसलिए, हमने दबाव की गणना की है और अगला प्रश्न यह है कि पास्कल प्रति मीटर में औसत दबाव ढाल क्या है ।

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तो, दबाव ढाल कुछ भी नहीं है, लेकिन एक्स द्वारा डेल्टा पी, के रूप में हम गेज दबाव हम ०.४४ के रूप में डेल्टा पी लिख सकते है और समस्या में एक्स के साथ काम कर रहे है 3 जो हमें प्रति मीटर १.५ पास्कल के आसपास देता है । इसलिए, विस्थापन मोटाई अवधारणा का उपयोग करके हमने मतलब वेग की गणना की है और उस मतलब वेग और बर्नौली की अभिव्यक्ति का उपयोग करते हुए, हमने दबाव की गणना की है और उससे हमने दबाव ढाल की गणना की है। इसलिए, इस तरह हम एक चैनल के मामले में विस्थापन मोटाई अवधारणा का उपयोग कर सकते हैं और निकास वेग और दबाव ढाल की गणना कर सकते हैं। तो, यह ट्यूटोरियल समाप्त होता है।

धन्यवाद।